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然而困难正是从这里开始，随着向点状引力源的趋近，时空几何出现奇异行为。更精确地说，奇异性在！临界距离r＝ZGM／c‘处开始出现，这里M是中心星的质量，G是牛顿的万有引力常数，C是光速（以下将把这个式于简化成r一ZM，即通过适当选取质量、长度和时间的单位而使G和C都等于1）。这个临界距离与引力质量成正比，对太阳质量是3公里，对100万倍太阳质量是300万公里，对地球则是1厘米。这个距离就叫做史瓦西半径，它不是别的，正是按照牛顿方式计算的表面逃逸速度达到光速的星体尺度。史瓦西自己并不知道，正是他为米切尔和拉普拉斯那已被遗忘的关于不可见星的猜测打开了通道。

魔圈

在由史瓦西解到黑洞理论的道路上，似乎有着两个陷跳，一个是数学的，另一个是天文学的。

按照史瓦西解，在临界半径／＝ZM以内，空间和时间都丧失了自己的特征。在这个半径以外用以测量距离和时间的规则都失效了，时间趋于无限，而距离变成零。爱丁顿曾把时空几何中的这种奇异性描述为“我们无法在其中进行任何测量的魔圈”。

魔圈问题在1922年巴黎研讨会上引起了热烈的讨论。这个会上聚集了以爱因斯坦为中心的一群最好的相对论学家。包括约翰·贝奎尔（Jean　Becquerel）、亨利·布里罗因（HenriBrillouin）、埃里·嘉当（Elie　Cartan）、雅克·哈达玛（JacquesHadamard）和泡尔·郎之万。然而，这个理论物理学家阵容仍不能解决临界半径所提出的数学问题，他们充其量也只是觉得可能与引力收缩有关。

在很长时间里魔圈被认为是广义相对论的一个缺陷，在这个问题上的进展因而被阻碍了。直到50年代，理论家们才对史瓦西半径上的奇异性的解释获得共识，时空几何的“病态”行为只是一起数学事故。戴维·芬克斯坦（David　Finkels比in）证明，这是坐标系选择不当的结果（按照广义相对论，所有坐标系都能等价地用于描述物理现象，但是在某些坐标系中的计算会比在别的系中简单得多）。在此之前许多年，爱丁顿曾经找到一个坐标系，在其中史瓦西几何没有魔圈，但是他没能或不愿看到进一步的结果，因为他在一心想着另外一个天文学的问题，即引力收缩的恒星。

不可见星的重现

太阳这样的恒星能自己收缩成半径为3公里的球的思想，在20世纪初同在拉普拉斯时代一样不被接受，因为它所要求的物质密度是无法想象的。1931年，日本物理学家获原雄助写了一篇很有趣的数学论文，其中计算了史瓦西时空的所有测地线，包括穿过魔圈的那些，他的结论是：“对于任何一颗恒星，rZ　ZM这个距离落在其实际半径外面是很不可能的。要使质量与太阳相当的恒星的半径等于ZM这个值，其密度就必须是水的10‘’倍，而最致密的恒星，即作为天狼星伴星的那颗白矮星，其密度也只是水的6X　104倍（后来的观测表明白矮星的密度比这个计算值大十倍，见第5章）。能达到如此惊人之高的临界密度的恒星物质状态是不存在的，因此在r＝ZM以内的轨道从物理上看是高度地不可能的。”

这段引文准确地概括了大多数天体物理学家的务实观点。他们只对史瓦西几何的外部区域有兴趣，因为能应用于太阳系，而他们完全不理会临界半径上的奇异行为。

然而，毕竟有一些人敢于向前迈进。

1920年，安德森（A·Anderson）向自己提出一个恒星的体积收缩到接近其“魔圈”时会发生什么的问题，并回答道：“如果太阳持续地收缩，终将有一天它会消失在黑暗中。这并不是因为它不再发光，而是因为它的引力场变得使光不能透过。”一年后，奥利弗·洛奇（O－liver　Lodge）爵士几乎逐字重复了米切尔和拉普拉斯的推断：“如果光受引力作用……一个质量足够大并足够密集的物体将能够留住光，使之不能射出…··咖果太阳这么大的质量能收缩到一个半径约3公里的球内，这样一个球将具有上面所说的性质，但是这种程度的收缩是超出理性认可的范围的……然而，一个恒星系统，比如说一个超旋涡星云，如果总质量为太阳的10’5倍而半径为300秒差距，则相应的平均密度只有10－15克／立方厘米，而光也不能从中逃逸。这样一种物质聚集状态看来就不是完全不可能了。”

按照这个分析，如果说天体物理学家仍然难以接受质量为几个M的恒